KPK dan FPB
A.Kelipatan Bilangan
Kita telah mengenal operasi hitung penjumlahan dan perkalian bilangan. Operasi-operasi hitung tersebut harus benar-benarkamu pahami karena akan kita gunakan dalam mempelajari kelipatan dan faktor bilangan.
1. Menentukan Kelipatan Suatu Bilangan
Masih ingatkah kalian dengan membilang bilangan loncat? Mari kita perhatikan garis bilangan di bawah ini. Mari kita tuliskan bilangan loncat 2 yang ditunjukkan tanda panah pada garis bilangan di atas. 2, 4, 6, 8, 10, dan seterusnya Dari manakah bilangan-bilangan tersebut diperoleh? Mari kita selidiki bersama-sama.
2 = 2 = 1 × 2
4 = 2 + 2 = 2 × 2
6 = 4 + 2 = 2 + 2 + 2 = 3 × 2
8 = 6 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 × 2
10 = 8 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 × 2
dan seterusnya Ternyata bilangan-bilangan tersebut diperoleh dengan menambahkan 2 dari bilangan sebelumnya atau mengalikan 2 dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Bilangan-bilangan seperti ini disebut bilangan kelipatan 2. Dengan cara yang sama dapat kita cari bilangan kelipatan 5 sebagai berikut. 44 Ayo Belajar Matematika – Kelas IV
5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25
dan seterusnya
Jadi, kelipatan 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, dan seterusnya.
2. Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan
Sudahkah kamu memahami kelipatan bilangan? Jika sudah, mari kita teruskan mempelajari kelipatan persekutuan dua bilangan. Apakah kelipatan persekutuan itu? Mari kita selidiki bersama.Mari kita bahas kegiatan ayo bermain di atas. Cocokkan hasil
pekerjaan kalian dengan garis bilangan loncat berikut ini.
Bilangan-bilangan kelipatan 2 adalah
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
Bilangan-bilangan kelipatan 3 adalah
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
Bilangan-bilangan yang sama dari kelipatan kedua bilangan
tersebut adalah
6, 12, 18, 24, …
Bilangan-bilangan 6, 12, 18, 24, …
disebut kelipatan persekutuan dari
2 dan 3.
Samakah jawaban kalian? Cobalah untuk kelipatan-kelipatan bilangan yang lain. Setelah itu, mari kita tuliskan kesimpulan bersama-sama.
Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatankelipatan
dari dua bilangan tersebut yang bernilai sama.
B. KPK dan FPB
Setelah mempelajari konsep kelipatan dan faktor dari suatu bilangan serta dapat menentukan kelipatan persekutuan dan faktor persekutuan, selanjutnya mari kita pelajari kelipatan persekutuan terkecil yang biasa disingkat KPK dan faktor persekutuan terbesar yang biasa disingkat FPB.
1. Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Apakah yang dimaksud KPK dari dua bilangan? Bagaimanakah
cara menentukannya? Mari kita bahas dan pelajari bersama.
Mari kita cari kelipatan persekutuan dari bilangan 4 dan 6.
Kelipatan 4 adalah 4, 8, 12 , 16, 20, 24 , 28, 32, 36 , 40, 48 …
Kelipatan 6 adalah 6, 12 , 18, 24 , 30, 36 , 42, 48 , 54, 60, …
Kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, 36, 48, …
Coba kamu perhatikan. Berapakah kelipatan persekutuan dari
4 dan 6 yang paling kecil? Bilangan itulah yang disebut KPK
dari 4 dan 6. Jadi, diperoleh KPK dari 4 dan 6 adalah 12.
C. Menyelesaikan Masalah KPK dan FPB
Apa kegunaan KPK dan FPB? Adakah contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep KPK dan FPB? Mari kita bahas dan pelajari bersama.
1. Menyelesaikan Masalah Berkaitan dengan KPK
Ema dan Menik sama-sama ikut les matematika. Ema masuk setiap 4 hari sekali, sedangkan Menik masuk setiap 6 hari sekali. Jika hari ini mereka masuk les bersama-sama, berapa hari
lagi mereka masuk les bersama-sama dalam waktu terdekat?Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan di atas? Mari kita selesaikan bersama-sama. Berikut adalah urutan jadwal Ema
dan Menik masuk les setelah hari ini.Jadi, mereka akan kembali masuk les bersama-sama dalam
12 hari lagi.Apa yang dapat kalian simpulkan dari penyelesaian masalah di atas? Betul, 12 adalah KPK dari 4 dan 6. Jadi, penyelesaian permasalahan di atas menggunakan KPK.
2. Menyelesaikan Masalah Berkaitan dengan FPB
Dalam rangka merayakan hari ulang tahunnya, Ema membagikan 75 buku tulis dan 50 pensil kepada anak-anak yatim piatu. Setiap buku tulis dan pensil akan dibagikan kepada anak-anak dengan jumlah yang sama banyak.
a. Berapa anak yatim yang bisa mendapatkan buku tulis dan
pensil?
b. Berapa buku tulis dan pensil untuk masing-masing anak?
Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan kali ini? Mari kita selesaikan bersama-sama.
Ada 75 buku tulis. Agar setiap anak mendapat bagian yang
sama banyak, maka buku tulis tersebut dapat dibagikan kepada:
1 anak, 3 anak, 5 anak, 15 anak, 25 anak, atau 75 anak
Ada 50 pensil. Agar setiap anak mendapat bagian yang sama
banyak, maka pensil tersebut dapat dibagikan kepada:
1 anak, 2 anak, 5 anak, 10 anak, 25 anak, atau 50 anak
Jika setiap buku tulis dan pensil dibagikan kepada anak-anak
dengan jumlah yang sama banyak, maka buku tulis dan pensil
tersebut dapat dibagikan kepada 1 anak, 5 anak, atau 25 anak.
Jadi, penyelesaian masalah di atas adalah sebagai berikut.
a. Banyak anak yatim yang mendapatkan buku tulis dan pensil dengan bagian yang sama, paling banyak 25 anak.
b. Setiap anak mendapatkan 75 : 25 = 3 buku tulis dan 50 : 25 = 2 pensil.
Jika kamu perhatikan dengan seksama, 25 adalah FPB dari 75 dan 50. Jadi, penyelesaian permasalahan di atas dilakukan dengan menggunakan FPB.
Kita telah mengenal operasi hitung penjumlahan dan perkalian bilangan. Operasi-operasi hitung tersebut harus benar-benarkamu pahami karena akan kita gunakan dalam mempelajari kelipatan dan faktor bilangan.
1. Menentukan Kelipatan Suatu Bilangan
Masih ingatkah kalian dengan membilang bilangan loncat? Mari kita perhatikan garis bilangan di bawah ini. Mari kita tuliskan bilangan loncat 2 yang ditunjukkan tanda panah pada garis bilangan di atas. 2, 4, 6, 8, 10, dan seterusnya Dari manakah bilangan-bilangan tersebut diperoleh? Mari kita selidiki bersama-sama.
2 = 2 = 1 × 2
4 = 2 + 2 = 2 × 2
6 = 4 + 2 = 2 + 2 + 2 = 3 × 2
8 = 6 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 × 2
10 = 8 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 × 2
dan seterusnya Ternyata bilangan-bilangan tersebut diperoleh dengan menambahkan 2 dari bilangan sebelumnya atau mengalikan 2 dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Bilangan-bilangan seperti ini disebut bilangan kelipatan 2. Dengan cara yang sama dapat kita cari bilangan kelipatan 5 sebagai berikut. 44 Ayo Belajar Matematika – Kelas IV
5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25
dan seterusnya
Jadi, kelipatan 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, dan seterusnya.
2. Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan
Sudahkah kamu memahami kelipatan bilangan? Jika sudah, mari kita teruskan mempelajari kelipatan persekutuan dua bilangan. Apakah kelipatan persekutuan itu? Mari kita selidiki bersama.Mari kita bahas kegiatan ayo bermain di atas. Cocokkan hasil
pekerjaan kalian dengan garis bilangan loncat berikut ini.
Bilangan-bilangan kelipatan 2 adalah
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
Bilangan-bilangan kelipatan 3 adalah
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
Bilangan-bilangan yang sama dari kelipatan kedua bilangan
tersebut adalah
6, 12, 18, 24, …
Bilangan-bilangan 6, 12, 18, 24, …
disebut kelipatan persekutuan dari
2 dan 3.
Samakah jawaban kalian? Cobalah untuk kelipatan-kelipatan bilangan yang lain. Setelah itu, mari kita tuliskan kesimpulan bersama-sama.
Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatankelipatan
dari dua bilangan tersebut yang bernilai sama.
B. KPK dan FPB
Setelah mempelajari konsep kelipatan dan faktor dari suatu bilangan serta dapat menentukan kelipatan persekutuan dan faktor persekutuan, selanjutnya mari kita pelajari kelipatan persekutuan terkecil yang biasa disingkat KPK dan faktor persekutuan terbesar yang biasa disingkat FPB.
1. Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Apakah yang dimaksud KPK dari dua bilangan? Bagaimanakah
cara menentukannya? Mari kita bahas dan pelajari bersama.
Mari kita cari kelipatan persekutuan dari bilangan 4 dan 6.
Kelipatan 4 adalah 4, 8, 12 , 16, 20, 24 , 28, 32, 36 , 40, 48 …
Kelipatan 6 adalah 6, 12 , 18, 24 , 30, 36 , 42, 48 , 54, 60, …
Kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, 36, 48, …
Coba kamu perhatikan. Berapakah kelipatan persekutuan dari
4 dan 6 yang paling kecil? Bilangan itulah yang disebut KPK
dari 4 dan 6. Jadi, diperoleh KPK dari 4 dan 6 adalah 12.
C. Menyelesaikan Masalah KPK dan FPB
Apa kegunaan KPK dan FPB? Adakah contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep KPK dan FPB? Mari kita bahas dan pelajari bersama.
1. Menyelesaikan Masalah Berkaitan dengan KPK
Ema dan Menik sama-sama ikut les matematika. Ema masuk setiap 4 hari sekali, sedangkan Menik masuk setiap 6 hari sekali. Jika hari ini mereka masuk les bersama-sama, berapa hari
lagi mereka masuk les bersama-sama dalam waktu terdekat?Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan di atas? Mari kita selesaikan bersama-sama. Berikut adalah urutan jadwal Ema
dan Menik masuk les setelah hari ini.Jadi, mereka akan kembali masuk les bersama-sama dalam
12 hari lagi.Apa yang dapat kalian simpulkan dari penyelesaian masalah di atas? Betul, 12 adalah KPK dari 4 dan 6. Jadi, penyelesaian permasalahan di atas menggunakan KPK.
2. Menyelesaikan Masalah Berkaitan dengan FPB
Dalam rangka merayakan hari ulang tahunnya, Ema membagikan 75 buku tulis dan 50 pensil kepada anak-anak yatim piatu. Setiap buku tulis dan pensil akan dibagikan kepada anak-anak dengan jumlah yang sama banyak.
a. Berapa anak yatim yang bisa mendapatkan buku tulis dan
pensil?
b. Berapa buku tulis dan pensil untuk masing-masing anak?
Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan kali ini? Mari kita selesaikan bersama-sama.
Ada 75 buku tulis. Agar setiap anak mendapat bagian yang
sama banyak, maka buku tulis tersebut dapat dibagikan kepada:
1 anak, 3 anak, 5 anak, 15 anak, 25 anak, atau 75 anak
Ada 50 pensil. Agar setiap anak mendapat bagian yang sama
banyak, maka pensil tersebut dapat dibagikan kepada:
1 anak, 2 anak, 5 anak, 10 anak, 25 anak, atau 50 anak
Jika setiap buku tulis dan pensil dibagikan kepada anak-anak
dengan jumlah yang sama banyak, maka buku tulis dan pensil
tersebut dapat dibagikan kepada 1 anak, 5 anak, atau 25 anak.
Jadi, penyelesaian masalah di atas adalah sebagai berikut.
a. Banyak anak yatim yang mendapatkan buku tulis dan pensil dengan bagian yang sama, paling banyak 25 anak.
b. Setiap anak mendapatkan 75 : 25 = 3 buku tulis dan 50 : 25 = 2 pensil.
Jika kamu perhatikan dengan seksama, 25 adalah FPB dari 75 dan 50. Jadi, penyelesaian permasalahan di atas dilakukan dengan menggunakan FPB.
§ Cara mencari KPK
Caranya anda bisa menggunakan cara menuliskan kelipatannya satu per satu. Contoh:
KPK dari 12 dan 15 adalah:
Kelipatan 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, ...
Kelipatan 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, ...
Kelipatan dari 12 dan 15 yang sama diatas adalah 60, 120, dan seterusnya. Karena kita mencari yang terkecil, maka KPK dari 12 dan 15 adalah 60.
Apabila angka yang akan dicari KPK-nya besar, maka cara diatas sulit dipakai. Ada cara yang lebih mudah lagi dibandingkan cara diatas. Yaitu dengan cara menggunakan faktorisasi prima.
Waduh... kalau ada yang lebih mudah, kenapa pake cara diatas?
Nah, caranya begini.
Misalkan yang ingin dicari faktorisasi prima-nya angka 60. Nah, kita cari bilangan prima terkecil yang bisa membagi angka 60.
Bilangan prima terkecil yang bisa membagi 60 adalah 2. Lalu bagilah 60 dengan 2. Didapatkan angka 30. Lalu cari bilangan prima terkecil yang bisa membagi angka 30, yaitu 2. Lalu bagi 30 dengan 2. Didapatkan 15. begitu terus, sampai angkanya tidak bisa dibagi lagi dengan bilangan prima apapun.
Nah, kira-kira bisa dijelaskan dengan gambar dibawah ini.
Nah, lalu kumpulkan semua bilangan prima. Yaitu 2, 2, 3, dan 5. Nah, apabila ada bilangan yang sama, jadikan dalam bentuk pangkat. Ada 2 buah angka 2. Jadi 22.
Jadi, faktorisasi prima dari 60 adalah 22 x 3 x 5.
Nah, bila dicari KPK-nya, kalikan semua bilangan, lalu apabila ada bilangan yang sama, cari yang pangkatnya lebih tinggi.
Contoh: KPK 30 dan 36.
30 = 2 x 3 x 5
36 = 22 x 32
Karena ada 2 buah angka 2 dan 3, cari yang pangkatnya lebih tinggi. Dalam hal ini adalah 22 dan 32. Jadi KPK dari 30 dan 36 adalah 22 x 32 x 5. = 4 x 9 x 5 = 180
§ Cara mencari FPB
Nah, cara mencari FPB, salah satunya dengan cara menyebutkan satu-persatu faktornya dan cari faktor yang sama dan yang paling besar.
Misal:
Faktor 15: 1, 3, 5, 15
Faktor 25: 1, 5, 25
FPB 15 dan 25: 5
Sebenarnya ada cara lain. Yaitu menggunakan faktorisasi prima. Caranya yaitu dengan mencari faktor prima yang berada di kedua bilangan dan mempunyai pangkat paling kecil.
Contoh: FPB 30 dan 36.
30 = 2 x 3 x 5
36 = 22 x 32
Maka FPB 30 dan 36: 2 x 3 = 6
2. Dengan Menggunakan Tabel
§ Mencari FPB
· Buatlah cara tabel
untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.
· Beri tanda faktor
prima yang sama.
Contoh
a. Tentukan FPB dari
bilangan 21 dan 35
|
21
|
35
|
|
|
3
|
7
|
5
|
|
5
|
7
|
1
|
|
7
|
1
|
1
|
FPB = 3
b. Tentukan FPB dari
bilangan 36 dan 54
c.
|
36
|
54
|
|
|
2
|
18
|
27
|
|
2
|
9
|
27
|
|
3
|
3
|
9
|
|
3
|
1
|
3
|
|
3
|
1
|
1
|
FPB =
2 X 3 X 3
= 2
X 32 = 18
d. Tentukan FPB dari
bilangan 75, 105 dan 120
|
75
|
105
|
120
|
|
|
2
|
75
|
105
|
60
|
|
2
|
75
|
105
|
30
|
|
2
|
75
|
105
|
15
|
|
3
|
25
|
35
|
5
|
|
5
|
5
|
7
|
1
|
|
5
|
1
|
7
|
1
|
|
7
|
1
|
1
|
1
|
FPB = 3 X 5 = 15
§ Mencari KPK
· Buatlah cara tabel
untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPK-nya.
· Kalikan semua
faktor prima.
Contoh
a. Tentukan KPK dari
bilangan 16 dan 40
|
16
|
40
|
|
|
2
|
8
|
20
|
|
2
|
4
|
10
|
|
2
|
2
|
5
|
|
2
|
1
|
5
|
|
5
|
1
|
1
|
KPK = 2
X 2 X 2 X 2 X 5
= 24 X
5 = 80
b. Tentukan
KPK dari bilangan 36 dan 64
|
36
|
54
|
|
|
2
|
18
|
27
|
|
2
|
9
|
27
|
|
3
|
3
|
9
|
|
3
|
1
|
3
|
|
3
|
1
|
1
|
KPK =
2 X 2 X 3 X 3 X 3
= 22 X
33 = 108
b. Tentukan KPK dari
bilangan 10, 15 dan 25
|
10
|
15
|
25
|
|
|
2
|
5
|
15
|
25
|
|
3
|
5
|
5
|
25
|
|
5
|
1
|
1
|
5
|
|
5
|
1
|
1
|
1
|
KPK = 2 X
3 X 5 X 5
= 2
X 3 X 52 = 150
Categories:
KPK dan FPB
FPB 21 DAN 35 = 3????gak 7 tuh
BalasHapusKalo kpk ama fpb dari 16 ama 25 brp ya
BalasHapus